y = sin x 的有理數解

問題

Pn(x) 為一個以 x 為變數,次數為 n,且 xn 的係數為 1,其餘各項的係數為整數的多項式。即

(1)
\begin{align} P_{n}(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+\dotsm+a_{2}x^2+a_{1}x+a_0 \end{align}

其中 an - 1an - 2、…、a1a0 皆為整數。
1. 求證「若方程 Pn(x) = 0 有有理數解,則該有理數解必為整數解。
2. 求證 2cos nx 可以寫成 Pn(2cos x) 的形式。
3. 根據問題 1 和 2,探究 cos xx 均為有理數的條件 (x 以度為單位)。
4. 在方程 y = sin x 中 (x 以度為單位,且 0<x<90),
(x = 30, y = 0.5) 是唯一一組 xy 的有理數解嗎?

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