巴斯卡三角形與 nCr

問題

定義數列 An,r 如下:

(1)
\begin{equation} A_{0,0}=1 \end{equation}

對於所以正整數n

(2)
\begin{split} &A_{n,0}=A_{n,n}=1\\ &A_{n,r}=A_{n-1,r-1}+A_{n-1,r} \end{split}

(以上數列,會生成巴斯卡三角形 (Pascal's triangle) 的各項,正是巴斯卡三角形的定義。)

也定義

(3)
\begin{align} {_nC_r}=\frac{n!}{(n-r)!r!} \end{align}

其中 nr 是整數且 0 ≤ nr

求證 nCr 即是 An,r 的各項。

提示

題解

感想


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