1. 考慮 $y=x$ 及 $y=2^x$
2. 試試想一些普遍性的方法來處理。

1. 方法其實有很多種，其中一個簡單的方法，是考慮 $y=x$ 及 $y=2^x$ 的圖像：

兩個圖像並沒有交點，因此方程 $2^x=x$ 是沒有解的。
不借助圖像，其實還有很多方法，以下問題 2 的題解亦可處理問題 1，但其實還有一些其他方法，看問題 2 的題解前，不妨再想一想。

2.

用一階導數判別法 (First Derivative Test)，得出當 x=e 時，a 達至全局極大值 (Global Maximum)，而 a 的全局極大值是 $e^\frac{1}{e}\approx{1.445}$。

因此，若方程 $a^x=x$ 有解，a 值的範圍是 $0<a\leq e^\frac{1}{e}$。

對於問題 1，你們想得出答案嗎？

當中我所用的圖解法，雖然不是甚麼嚴謹的數學證明，至少，你要用電腦來繪圖。但是，此方法不失為一個簡單快捷的方法讓我們判斷該方程有沒有解。另外，我覺得其實不少人也不懂這樣做。很多人看見形式如 $f(x)=k$ 的方程，或許能夠考慮函數 $y=f(x)-k$，知道該函數圖像的 x 截距是圖像的解，但是很多時考慮 $y=f(x)$ 及 $y=k$ 兩部分，反而更容易處理，不少學生會忽略了此點。

問題 2，其實我是在思考其他問題時得到啟發。該問題我自己還未解決，日後與大家再談該問題。

一般家課，通常也會直接求函數的極值，最多加上情境。問題 2，起初看似和極值沒有關係，但細心再想，我們知道當 x>0 時，$x^\frac{1}{x}$ 是連續函數，找出極值，便可找出函數的值域 (range)，即可找出 a 的取值範圍呢！