e 是有理數嗎?

問題

大家知道甚麼是 e 嗎?通常我們用數列的極限來定義:

(1)
\begin{align} e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{align}

它有以下特性:

(2)
\begin{split} e&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\\ &=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \end{split}

在以上兩個數列,很明顯數列中的各項皆是有理數。那麼,數列的極限,即是 e,會是有理數嗎?

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