多項式方程的解之界限

問題

考慮多項式

(1)
\begin{align} P_{n}(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_{1}x+a_0 \end{align}

其中所有係數皆是實數。
r 是多項式方程 $P_{n}(x)=0$ 的根,求證

(2)
\begin{align} |r|\leq 1+\max(|a_{n-1}|,|a_{n-2}|, |a_{n-3}|,\cdots,|a_{2}|,|a_{1}|,|a_{0}|) \end{align}

由此,求一個 x 的範圍,使方程

(3)
\begin{equation} 3x^5-6x^4+16x^3-2x-1=0 \end{equation}

的所有根皆在該範圍內。

提示

題解

感想


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