傅里葉級數與圓周率

問題

在十八世紀,數學家傅里葉 (Joseph Fourier) 發現了以下一個重要的結果,就是某些函數 f(x) 在 $-\pi\leq x \leq \pi$ 的區間內是可以表達成以下形式:

(1)
\begin{align} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)) \end{align}

且這級數在區間上 $-\pi\leq x \leq \pi$ 趨向於 f(x)。

這種把 f(x) 寫成三角函數級數的形式,稱為傅里葉級數 (Fourier Series)。

1. 求證

(2)
\begin{split} a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx\\ b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx \end{split}

2. 已知 f(x)=x2 的傅里葉級數在區間$-\pi\leq x \leq \pi$上趨向 x2。試求 x2 的傅里葉級數,並觀察此級數與 π 的關係。

提示

題解

感想


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