沃利斯乘積(求 Pi 公式)

問題

以下是一個著名的公式,稱為沃利斯乘積 (Wallis Product):

(1)
\begin{align} \frac{2}{\pi}&=\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 6} \cdot \cdots \cdot \frac{(2n-1) \cdot (2n+1)}{2n \cdot 2n} \cdots\\ &=\lim_{n \to \infty}\prod_{k=1}^n \frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)(2k)} \end{align}

試證明此公式。

提示

題解

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