考慮數列 T_n，計算 $\sum_{i=1}^{n}(T_{i+1} - T_i)$，會有甚麼結果？

留意提示

考慮下式：

在利用上文結果，可得

即是

第一次認識此公式，是在中學附加數學科學習數學歸納法的時候，那時覺得很神奇，不知如何得出此公式，但竟然能夠證明它是正確，實在不可思議。

那個年代，我認為「證明」是「發現」數學知識的途徑。例如初中學習幾何定理，證明一個定理，就像發現一個定理似的。例如中點定理，我們在圖中加些輔助線，得出平行四邊形、全等三角形，於是我們證明/發現中點定理。

證明的思路，就大致與發現相乎。就算我們有時直觀得出一些結果，例如三角形三條中線交於一點，如果沒有證明，那就只是猜想，不能確定其真偽。

能夠寫出證明，那大概也就提供了一個思路，讓我們理解此結果如何得出來。

而數學歸納法，實在是不可思議。大家也可背出來吧？首先我們證明 P(1)正確，繼而證明「若 P(k)正確，則 P(k+1)正確，其中k是正整數」。那麼對於所有正整數 n，P(n) 均正確。

課本內數十條習題，可用同樣方法處理，機械式寫出解題步驟，這已經是不可思議，在初中學習幾何時完全沒想過同一招適用於如此眾多的問題之上。更不可思議的，這個所謂「證明」，我寫得出來，分數也全取下來，但是，究竟那些數式是如何發現？單看這個數學歸納法的所謂證明，是完全不能得知發現數式的思路。放得在課本練習中的習題，除非出錯，否則也必定正確，這是考試制度下的金科玉律。既然我知道必定正確，但做完功課後仍對背後的思路毫無頭緒，那麼有甚麼意義呢？

慢慢地才理解，原來「發現」與「證明」是可分別獨立處理呢！這是邏輯的厲害之處。

從數學歸納法我不能理解這類數列之和的公式是如何得出來，後來去看看其他書，終於得知如上文般的方法，很神奇啊。

大家不妨試試，考慮 $(i+1)^4-i^4$，類似上文的運算，並利用 $1+2+3+\cdots+n$ 及 $1^2 +2^2+3^2+\cdots+n^2$ 的公式，便可得出 $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3$ 的公式呢，類似方法還可得出四次方、五次方等公式。