初中學習因式分解時,我覺得這是一個很困難的課題。左試試、右試試,試試能否因式分解。記得當時老師派發的練習,真的有部分數式是不能因式分解。但你做因式分解時,你的方法不能把數式作因式分解,該數式又未必不能分解。例如
(5)
\begin{align} 2x^3+3x^2-3x-2 \end{align}
若我們這樣做
(6)
\begin{align} 2x^3+3x^2-3x-2=x^2(2x+3)-(3x+2) \end{align}
數式便不能分解下去。
究竟何時可分解,何時不可,實在無從得知似的。做這類題目,像是漫無目的不斷嘗試,望天打救,求其是但撞中一條解題之路,實在枯燥。
高中時,情況有所改變,我們學了因式定理。
考慮被除式 (Dividen) f(x) 除以除式 (Divisor) g(x) 得出商式 (Quotient)) Q(x) 及餘式 (Remainder) R(x) 的情況
運算中,我們可知
R(x) = f(x) - Q(x) × g(x)
即是
f(x) = Q(x) × g(x) + R(x)
即是所謂的除法法則 (Division algorithm)。
當除式為一次多項式時,即 ax - b 的形式,餘式則為常數。
f(x) = Q(x) × (ax - b) + R(x)
把 x = b/a 代入,得出
(7)
\begin{align} f(\frac{b}{a}) &= Q(\frac{b}{a}) \times (0) + R\\ R &= f(\frac{b}{a}) \end{align}
ax - b 為 f(x) 的因式,當且僅當餘數為0,即
把 x = b/a 代入,得出
(8)
\begin{align} f(\frac{b}{a}) = 0 \end{align}
此乃因式定理。
透過觀察 f(x) 的首項係數 (Leading coefficient) 及常數項 (Constant term),便可猜度以整數為係數的線性因式的形式,再以因式定理測試出因式。
以下式為例:
(9)
\begin{align} 2x^3+3x^2-3x-2 \end{align}
首項係數為 2,常數項為 -2,可能因式為 x + 1、x - 1、x + 2、x - 2、2x + 1、2x - 1
把 x = 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2
代入多項式,當 x = 1, -2, -1/2 時,多項式的值均為零,因此 x - 1、x + 2 及 2x + 1 均為因式。
較簡單的多項式,利用提出公因式、十字相乘等方法當然較快,但實在不應苛求學生在未學因式定理前便須處理較複雜的多項式的因式分解吧?
試想一想,你會如何因式分解以下多項式:
多項式一:
(10)
\begin{align} 2x^3+3nx^2−3n^2x−2n^3 \end{align}
多項式二:
(11)
\begin{align} 2m^3+3m^2n−3mn^2−2n^3 \end{align}
坦白說,在我高中時,多項式一我會設
(12)
\begin{align} f(x)=2x^3+3nx^2−3n^2x−2n^3 \end{align}
然後用因式定理。
但對於多項式二,第一個感覺是認為它是二元多項式,不能用因式定理。
到後期我才發現其實可把它視為一元來處理:
(13)
\begin{align} f(m)=2m^3+3m^2n−3mn^2−2n^3 \end{align}
兩個多項式只是字母不同,可能被對 x 的感覺而被誤導了。
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