從數學角度看地鐵新優惠

在香港,香港地鐵有限公司 (港鐵) 營辦本港的鐵路,近年年年加價,但都會推出小恩小惠以消民憤。

數學的角度上看,港鐵的優惠越來越縮骨。以往的「十送一」,在一週內星期一至五乘坐10程,送一張車票,任你乘搭港鐵線、東鐵線、西鐵線 (機鐵、羅湖、落馬州除外)。假設你所乘的車程與所送的車程相同,每程均是 $x,你付出 10 程價錢便可乘坐 11 程。

(1)
\begin{align} &折扣百分率 \\ &= \frac{11x-10x}{11x} \times 100\% \\ &= 9.09\% \end{align}

即是大約九一折。若果運用得宜,例如所送的車票留作乘搭長途車,折扣會更高。

今日,2013 年 1 月 1 日,港鐵公司提供新優惠,就是同日的第二程有九折優惠。

我估計對於大部分人來說,有來自然有回,同日的兩程對大部分人來說也是車資相同,聽起來「九折」優惠也不錯,但實際呢?假設你一日乘兩程,每程車資均是 $x,那麼

(2)
\begin{align} &折扣百分率 \\ &=\frac{2x-(x+x \times 90%) }{2x} \times 100\% \\ &=5\% \end{align}

即是九五折!

而且在此情況,顧客運用優惠比以前少去靈活性,未能透過策略提高折扣率!變相是縮減優惠。對我這種在上班日子必會享受到十送一優惠的人士,係優惠少了。但對部分一週乘坐不足十程,但有些日子一日會坐兩程的便多了優惠。還有以往輕鐵沒有十送一,但這個同日第二程有九折的優惠輕鐵也適用。

另一方面,在此新優惠,有一個與數學相關的特性。由於第二程有九折,可使車資打破「三角形不等式」(Triangle Inequality)。

何謂三角形不等式?

幾何上,一個三角形任意兩邊的長度之和,必定大於第三條邊的長度。

三角形不等式不一定用於圖形的邊長,可抽象化來形容其他東西。例如你由A點去B點,再由B點去C點的總時間,大於由A點直接去C點的時間,這個時間的關係也符合三角形不等式。

數學上,三角形不等式可以這描述:

d(A, B) + d(B, C) > d(A, C)

港鐵的車資定價,不考慮羅湖站的話,一直也滿足三角形不等式。即是對任意車站,由 A 站去 B 站的車資,再加上由 B 站去 C 站的車資,必大於由 A 站直接去 C 站的車資。但由於尖沙咀和尖東站的奇特收費模式 (用八達通尖沙咀/尖東轉乘有30分鐘時限),由東鐵線經九龍塘轉港鐵過海(視為一程),透過第二程有九折,便有可能貴過由尖東出閘行去尖沙咀轉港鐵線過海(視為兩程,但在30分鐘內轉乘有回扣)呢!


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