中值定理

問題

中值定理 (mean value theorem) 是一個在微積分上很重要的定理。

若函數 y=f(x) 在 $[a, b]$ 上連續且在 (a, b) 上可導,則在 (a, b) 內存在一個值 c 使得

(1)
\begin{align} f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align}

圖像上較易理解:

fig1.png

這表示圖像上有一點 (c, f(c)),在該點的切線斜率與連接 (a, f(a))、(b, f(b)) 的直線斜率相同。

從圖像上,其實我們可以看多一點點。

研究幾何,很多時會由參數式出發。曲線上任意一點會以 (x(t), y(t)) 表示。以這角度看中值定理,會有甚麼結果?

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Page tags: geometry幾何