所有三角形皆是等腰的?

問題

某日,小明有一個驚人的發現,就是所有三角形皆是等腰的!理由如下:

假設 ABC 是一個任意三角形,作 ∠BAC 的角平分線,設 MBC 的中點並作 BC 的垂直平分線,假設兩線交於 D。有兩個情況:(1) D 在三角形內,(2) D 在三角形外。

情況一,D 在三角形內。
參看下圖:

fig1.png

DEDF,其中 EF 分別為 ABAC 上的點使 DEABDFAC
AD = AD (公共邊)
EAD = ∠FAD (角平分線)
DEA = ∠DFA (作圖)
因此,ΔAED ≅ ΔAFD (AAS)
AE = AF (全等三角形的對應邊)
DE = DF (全等三角形的對應邊)

BM = CM (作圖)
BMD = ∠CMD (作圖)
DM = DM (公共邊)
因此,ΔBDM ≅ ΔCDM (SAS)
BD = CD (全等三角形的對應邊)

DE = DF (已證)
BD = CD (已證)
BDE = ∠CDF = 90°(作圖)
因此,ΔBDE ≅ ΔCDF (RHS)
BE = CF (全等三角形的對應邊)

因此,AB = AE + BE = AF + CF = AC
ABC 是等腰三角形。

情況二,D 在三角形外。
參看下圖:

fig2.png

DEDF,其中 EF 分別為 AB 的延線和 AC 的延線上的點使 DEABDFAC
與情況一類似,透過證明各對全等三角形,可證明 AE = AFBE = CF,從而得出 AB = AC,因此,ABC 是等腰三角形。

但很明顯,「所有三角形皆是等腰三角形」此命題是假的!

那麼,究竟錯在哪裏?

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