繡曲線

問題

大家小時候,也玩過一個名為繡曲線的遊戲吧?取兩條相交線,把兩線上的點互相以直線連結,最後竟然會出現一條曲線呢!

引入坐標會較容易描述有關情況。

envelope1.png

上圖所示為直角坐標平面。把 (0, 0.8) 與 (0.2, 0) 以直線連結,(0, 0.6) 與 (0.4, 0) 以直線連結……如此類推,每隔「0.2」便連結一線,得出以下圖形:

envelope2.png

看不出「曲線」,連得密一點吧,例如每隔「0.1」連結一條線,得出以下圖形:

envelope3.png

再密一些,曲線更明顯:

envelope4.png

看不出來?我指這條曲線呀:

envelope5.png

繼續加密連線,就更為明顯:

envelope6.png

既然可以在直角坐標平面上表示繡曲線的情況,那麼大家有沒想過這條曲線的方程究竟是甚麼呢?

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