你能想得出正確的答案嗎?那麼你定必是一個很理性、有邏輯的人。看 wikipedia 的資料,這道問題絕大部分人都答錯,就算有 PhD 學位的都會答錯。
這問題的背景源於一個名為 Let's make a deal 的美國電視遊戲節目。後來這個改變主意與否的策略,備受爭議,引起廣範討論。而該節目最初的主持名叫 Monte Hall,因此,這問題稱為 Monte Hall Problem。
我初接觸這問題時,我也答錯的。我當時的情況是,題目中已披露出應該改變主意,提問讀者為何應該改變主意。我所看的那個題目來源實在不太好,損失了最原始思考問題的機會。不過雖然知道了應該改變主意,但我當時也覺得改變主意與否是不會影響獲得獎品的概率。想了好一陣子才走出這個困局。
除了以上題解中的論述外,其實還有很多很多種方法都可得出正確答案,例如列出所有可能結果:
假設你最初的選擇是寶箱A。
寶箱A |
寶箱B |
寶箱C |
不改變主意的結果 |
改變主意的結果 |
有獎品 |
無獎品 |
無獎品 |
獲得獎品 |
沒有獲得獎品 |
無獎品 |
有獎品 |
無獎品 |
沒有獲得獎品 |
獲得獎品 |
無獎品 |
無獎品 |
有獎品 |
沒有獲得獎品 |
獲得獎品 |
可見獲得獎品的概率較高。同理,你也可以列出當初你選擇寶箱B和寶C的情況,也會得出相同結論。
為甚麼大部分人,包括我,也不能正確解題呢?
其中一個原因,是忽視了主持的舉動,認為一開始選中的概率是 1/3,認為主持人又不是加一份獎品或減一份獎品,所以他的舉動,對我改變主意與否是無關的。這個做純粹是我們的直覺,不是理性地分析。以概率論的述語,主持的舉動與我們獲獎兩個事件實際上是相關事件,但偏偏就把他看作是獨立事件,所以就答錯了。
另一個原因,就是認為主持既然已開了一個沒有獎品的寶箱,剩下兩個寶箱,從兩個中隨機選一個,選中的概率自然是 1/2。於是認為我們改變主意與不改變主意,就是分別代表選哪一個寶箱的事件。這種想法也是錯的。這種想法忽視了我們第一次是否選中對第二次是否選中的影響,兩者其實也是相關事件。
現在用數式表示這條問題的解,未學過條件概率 (Conditional probability) 的讀者對這些數式會感到陌生。
設 A 為參賽者開始時選中有獎品的寶箱的事件,B 為參賽者開始時選中沒有獎品的寶箱的事件。
很明顯,$P(A)=\frac{1}{3}$ 及 $P(B)=\frac{2}{3}$。
設 C 為改變主意後獲得寶箱的事件。改變主意而獲得獎品的概率便是 $P(C)$,於是 $P(C|A)=0$ 及 $P(C|B)=1$。
(1)
\begin{split} P(C) &= P(C|A)\times P(A) + P(C|B) \times P(B) \\ &= 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} \\ &= \frac{2}{3} \end{split}
大家要注意,主持並非一定可以在餘下的兩個箱中選擇開哪一個。若參賽者選了沒有獎品的,主持則只有一個箱可以開。
如果主持不知道哪一個箱是有獎品,他隨機在餘下的兩個中選一個來開,結果開出沒有獎品的。這情況會有所不同。
完結前,我想大家想想一個問題。
多年前,一個備受歡迎的英國電視遊戲節目 Who Wants to be a Millionaire 登陸香港,那就是亞視所製作的《百萬富翁》。遊戲中參賽者有3個錦囊,答題時參賽者可選擇來幫助解題。其中一個錦囊名為「五十五十」,參賽者選用「五十五十」後,原本問題中四個選擇便只會剩下兩個,你在當中選一個來作答。
與 Monte Hall Problem 不同,「五十五十」不是由三個「你沒有選」的答案中隨機剔除兩個錯誤的選擇,而是由三個「錯誤」的選擇中隨機剔除兩個。
假設你不知正確答案,於是你心中隨機選了一個選項,例如是 A。你不放心,於是使用「五十五十」。巧合地,電腦沒有剔除你所選的 A。此時,你應該下決定選你原本所想的 A,還是改為選另一個電腦沒有剔除的選項呢?抑或選哪一個也沒有分別?請先想想再看以下分析:
注意,電腦沒有剔除 A,這表示有兩種可能:
- A是正確答案,概率是 1/4
- A是錯誤答案且電腦沒有剔除,概率是 $\frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$
因此,電腦沒有剔除 A 的概率 = 1/4 + 1/4 = 1/2
在情況1,改變選擇而答中的概率是 0。在情況2,改變選擇而答中的概率是 1。所以改變選擇而答中的概率是 $\frac{1}{4} \times 0 + \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$
因此,已知電腦沒有剔除 A,改變選擇而答中的概率
(2)
\begin{split} &= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\\ &= \frac{1}{2} \end{split}
在情況1,維持原本選擇而答中的概率是 1。在情況2,維持原本選擇而答中的概率是 0。所以維持原本選擇而答中的概率是 $\frac{1}{4} \times 1 + \frac{1}{4} \times 0 = \frac{1}{4}$
因此,已知電腦沒有剔除 A,維持原本選擇而答中的概率
(3)
\begin{split} &= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\\ &= \frac{1}{2} \end{split}
因此,改變選擇與否,是沒有關係的。
Wikipedia 內的文章比我此篇深入得多,也提出很多原本問題的變種,有興趣的朋友不妨一看:Monte Hall Problem。
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